fismattugas2

orde kedua persamaan linier dengan koefisien konstan dan sisi tidak sama dengan nol



orde kedua persamaan linier merupakan turunan atau diferensial ke dua dari sebuah persamaan yang koefisiennya konstan.
contoh
diketahui dua buah persamaan








dari persamaan disamping kita dapat mencari orde kedua dan sisiyang tidak sama dengan nol yaitu kita turunkan persamaan ke dua tersebut menjadi 2 kali turunan maka:











dan nilai dari yp kita dapat menggunakan cara:






























jadi sisinya tidak sama dengan nol tetapi:

GERAK HARMONIK SEDERHANA

Gerak harmonik merupakan sebuah suatu getaran yang selaras dan merambat pada sebuah medium. Pada kali ini kita akan membahar tentang gerak harmonik, sebelumya kita mengenal tentang gerak harmonik sederhana sewaktu kita SMA kita ketahu bahwa persamaan gerah harmonik pada sebuah lingkaran yaitu:


dimana A = amplitudo


contoh:
jika diketahui suatu persamaan



maka kita dapat mencari amplitudo,kecepatan sudut,periode dan frekuensi yaitu:
untuk amplitudo adalah:





jadi dapat diketahui amplitudonya adalah



sedangkan untuk kecepatan sudutnya adalah



unntuk periodenya adalah




dan frekuensinya adalah

maka untuk mencari daerah hasil adalah:

jadi daerah hasilnya adalah: 11i + 3j - 13k

 

1. BARISAN GEOMETRI
   
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   
   Rasio r = U_n / U_n-1
   
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
   
   
   
2. DERET GEOMETRI
   
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
         = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      U_n > U_n-1
      
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      U_n < U_n-1
      
      Bergantian naik turun, jika r < 0
      
      
   4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
      
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst.
      
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
      
      
      
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
   
   Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   
   ¥
   å Un = a + ar + ar² .........................
   n=1
   
   dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0
   
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   
   Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
   
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   
   a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   
   a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²
   
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
 

contoh:

a=8 

r= 3/4

maka jumlah suku ke n adalah

s= a/1-r

s= 8/1-3/4

s= 8/4/4 - 3/4

s=8/1/4

s= 8x4

s= 32